Cách tính tích phân suy rộng

      14
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng rẽ và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng nhiều loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) khẳng định bên trên

Nếu lâu dài số lượng giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì giới hạn này call là tích phân suy rộng lớn của f(x) trên
Bạn đang xem: Cách tính tích phân suy rộng

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng

*
là quy tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là cực kỳ hoặc ko trường thọ ta nói tích phân suy rộng

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Đầu tiên, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(vì

*
)

Vậy: I quy tụ với

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan lại trọng:

Bài toán xét sự quy tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân quy tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. Lúc đó:

*

Vậy chuỗi quy tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta gồm chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn chỉnh quy tụ, ngôi trường vừa lòng f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) với g(x) ko âm cùng khả tích trên , cùng f(x) ≤ g(x) ngơi nghỉ sát bên +∞ ( Tức là x đầy đủ lớn). Lúc đó:

Nếu
*
quy tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

Xem thêm: Hiện Tượng Giun Chui Ống Mật Gây Đau Bụng, Giun Chui Ống Mật

1.4.2 Định lý đối chiếu 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm với thuộc khả tích bên trên , với f(x) ≤ g(x) sống ở bên cạnh +∞ ( có nghĩa là x đầy đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân

*
, ta cần thiết kế hàm g(x) sao để cho
*
. Nghĩa là, f(x) và g(x) là nhị lượng tương đương.

Muốn vậy, ta bắt buộc thừa nhận diện với thay thế sửa chữa những Ngân hàng Ngoại thương VCB, VCL (Khi x → +∞ ) gồm vào f(x) bởi những Ngân hàng Ngoại thương VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, đề xuất chú ý cả nhì hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích bên trên

1.5 Các ví dụ: Xét sự quy tụ của những tích phân:

Ví dụ 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác minh và liên tục với mọi x thuộc
*
.

khi

*
: lnx là VCL cơ mà không tìm được VCL tương tự tương xứng. Vì vậy, ta ko dùng tín hiệu đối chiếu 2.

Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn nắn vậy, yêu cầu ngăn hàm lnx. Ta thuận tiện bao gồm bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân vẫn mang lại phân kỳ.( bởi vì tích phân

*
phân kỳ).

lấy ví dụ 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

Xem xét hàm rước tích phân, ta thấy:

khi

*

*
1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \slặng \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) cùng g(x) cùng khả tích bên trên <1;+∞) yêu cầu

*
với
*
cùng hội tụ hoặc thuộc phân kỳ.

Mặt khác:

*
hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

lấy ví dụ như 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

*
ta có:

*
x}1+x^2 \slặng \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) xác định và tiếp tục với tất cả

*
, còn g(x) không xác minh tại x = 0 buộc phải ta không thể sử dụng dấu hiệu so sánh 2 được.

lúc đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– Do

*
x}1+x^2 " class="latex" /> khẳng định và thường xuyên trên <0;1> cần
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân xác định nên quy tụ.

Xem thêm: Cách Chuyển Hình Từ Laptop Lên Tivi Bằng Dlna., Cách Chuyển Hình Ảnh Từ Laptop Lên Tivi Bằng Dlna

*
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> nên hội tụ.


Chuyên mục: Mẹo vặt hàng ngày