CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

      19
Thành viên1100 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:$\mathbbHomeless$Sở thích:make someone happy :)

Phương trình vi phân cung cấp 2.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình vi phân cấp 2

Dạng hạ bậc được.$y""-fracy"2x+1=0$$y""-frac2(y")^2y=0$$y""=y"-(y")^2$$xy""=y"$Bài tập tổng hợp.$y""+2y"=-3y+x-1$$y""+16=(3x-4)cos4x$$y""+4y=(5x+2)cos2x$$y""-y=frac(2-x)e^xx^3$$y""+9y=sin3x$$y""-2y"+2y=cos x+e^x$$y""+3y"=4y+8-2x$$y""+16y=(2x+5)sin4x$$y""+16y=(2x+5)cos4x$$y""-4y"+5y=sin x+2e^x-5$$y""+2y+10y=e^3x+2$$y""-y"=4sqrtx+frac1sqrtx^3$$y""-2y"+y=fracx^2+2x+2x^3$$frac(y")^32y^2=y""$$y""+2y"+2y=cos2x-3xsin2x$

$ extCứ làm việc cần mẫn trong im lặng$

$ extHãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn$


#2
*
Mrnhan


Mrnhan

$\textUchiha Itachi$

Thành viên1100 bài xích viếtGiới tính:NamĐến từ:$\mathbbHomeless$Sở thích:make someone happy :)

Lời giải.


Dạng hạ bậc được.


Nhận xét: Đối với dạng phương trình vi phân cung cấp 2 hạ bậc được, ta thường đặt $t=y"$

1. $$y""-fracy"2x+1=0Leftrightarrow t"-fract2x+1=0 Leftrightarrow fracdtdx=fract2x+1Leftrightarrow fracdtt=fracdx2x+1$$

$$Leftrightarrow ln|t|=frac12ln|2x+1|+ln|C_1|Leftrightarrow t=C_1sqrt2x+1=y"$$

$$Rightarrow y=int C_1sqrt2x+1dx+C_2=frac13C_1sqrt(2x+1)^3+C_2$$

2. Với bài xích này thì họ hạ bậc, tuy nhiên khác đi do phương trình chỉ tất cả hàm số của $y$ không giống với bài trên, ví dụ là:

Đặt $$t=y"Rightarrow y""=fracd(y")dx=fracdtdx=fracdydx, fracdtdy =y"fracdtdy=tfracdtdy$$

Thay vào bài bác toán, ta được

$$tfracdtdy-frac2t^2y=0Leftrightarrow left<eginmatrixy"=t=0\fracdtdy=frac2ty endmatrix ight.Leftrightarrow left<eginmatrixy=C\y"=t=C_1y^2 endmatrix ight.Leftrightarrow left<eginmatrixy=C\-frac1y=C_1x+C_2endmatrix ight.$$

3. Cũng như bài 2, ta làm tương tự như bước đặt.

Thay vào bài toán, ta được:

$$tfracdtdy=t-t^2 Leftrightarrow left<eginmatrixy"=t=0\fracdtdy=1-tendmatrix ight. Leftrightarrow left<eginmatrixy=C\y+K=-ln|1-t|,,(^*)endmatrix ight.$$

$$(^*)Leftrightarrow1-y"=e^y+K=C_1e^yLeftrightarrow fracdy1-C_1e^y=dxLeftrightarrow y-ln|1-C_1e^y|=x+C_2$$

4. Ta thấy phương trình vừa có hàm $x$ cùng hàm $y$, đề xuất làm tương tự bài 1.

Xem thêm: Cách Khắc Phục Lỗi Không Vào Được Fifa Online 3, Fifa Online 3 Không Vào Được

$$xy""=y"Leftrightarrow xt"=tLeftrightarrow fracdtt=fracdxxLeftrightarrow ln|t|=ln|x|+ln|C_1|=ln|C_1x|Leftrightarrow y"=C_1xLeftrightarrow y=C_1x^2+C_2$$


Nhắc lại phương trình đặc trưng của phương trình vi phân. Ta bao gồm phương trình vi phân với các hệ số$a_1,a_2,...,a_n$

$$a_ny^(n)+...+a_2y""+a_1y"=0$$

Thì phương trình đặc trưng là $$a_nk^n+...A_2k+a_1=0$$

Vì ở đó là phương trình vi phân cấp cho 2 nên ta chỉ xét với $n=2$.

Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm riêng biệt $k_1,k_2$ thì nghiệm bao quát là $$y=c_1e^k_1x+c_2e^k_2x$$Nếu phương trình đặc thù có nghiệm kép là $k$ thì nghiệm tổng thể là $$y=left ( c_1+c_2x ight )e^kx$$Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức là$k=a+bi$ thì nghiệm tổng thể là $$y=e^axleft ( c_1cos bx+c_2sin bx ight )$$

Vào bài xích toán.

1. Phương trình đặc thù của phương trình thuần tuyệt nhất là $k^2+2k+3=0 o k=-1pm isqrt2$ yêu cầu nghiệm tổng thể của phuơng trình thuần tốt nhất là$Y=e^-xleft ( c_1cossqrt2x+c_2sinsqrt2x ight )$

Vì $f(x)=x+1$ cần nghiệm riêng gồm dạng $y^*=ax+b$. Vắt vào phương trình ban sơ để kiếm tìm $a, b$. Ta tra cứu được$a=frac13,, b=frac19$

Vậy nghiệm bao quát là $$y=Y+y^*=e^-xleft ( c_1cossqrt2x+c_2sinsqrt2x ight )+fracx3+frac19$$

2. Đây là dạng bài bác phân li, chỉ cần lấy tích phân 2 vế là ra.

Đáp án là $$y=c_1x+c_2-8x^2+frac332sin4x+left ( frac14-frac3x16 ight )cos4x$$

3. Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân thuần tốt nhất là $k^2+4=0 o k=pm 2i$ đề nghị nghiệm tổng quát của phương trình thuần độc nhất là$y=c_1cos2x+c_2sin2x$

Vì$f(x)=left ( 3x-4 ight )cos2x$ tất cả $k=pm2i$ đề nghị nghiệm riêng gồm dạng$y^*=xleft ( ax+b ight )cos4x+xleft ( cx+d ight )sin4x$. Thay vào phương trình ban sơ để kiếm tìm $a, b, c, d$. Mình tìm kiếm được$y^*=frac5x16cos2x+xleft ( frac5x8+frac12 ight )sin2x$

Vậy nghiệm bao quát là $$y=Y+y^*=c_1cos2x+c_2sin2x+frac5x16cos2x+xleft ( frac5x8+frac12 ight )sin2x$$

4. Quan sát vào $f(x)$ thì đây không hẳn là dạng đặc biệt, đề nghị ta đề xuất sử dụng phương thức hằng số biến đổi thiên Lagrange.

Đầu tiên ta cũng tìm kiếm nghiệm bao quát của phương trình thuần nhất, làm tựa như trên ta được$Y=c_1e^x+c_2e^-x$

Thì nghiệm bao quát của ptvp ban đầu có dạng$y=c_1(x)e^x+c_2(x)e^-x$. Ta có hệ phương trình để tìm $c_1(x), c_2(x)$

$$left{eginmatrixc_1"(x)e^x+c_2"(x)e^-x=0\c_1"(x)e^x-c_2"(x)e^-x=frac(2-x)e^xx^3 endmatrix ight.Rightarrow c_1(x), c_2(x)$$

Hình như đề bài toán có vấn đề, tìm.....mãi

*

5. Làm tựa như bài 3. Đáp số $$y=c_1cos3x+c_2sin3x-fracx6cos3x$$

6. Bài xích này thì dạng $f(x)=cos x+e^x$ là 2 hàm khác nhau, ta thường tách ra $f_1(x)=cos x,, f_2(x)=e^x$. Nhưng tại đây tôi gộp lại luôn luôn cho ngắn, chắc chắn hơi rối

*

Đầu tiên ta cũng tra cứu nghiệm tổng thể của phương trình thuần nhất, làm tương tự trên ta được$Y=e^xleft ( c_1cos x+c_2sin x ight )$

Đánh giá thì ta thấy nghiệm riêng bao gồm dạng$y^*=acos x+bsin x+ce^x$. Núm vào phương trình ban đầu, rút gọn cùng ta search được$y^*=frac15cos x-frac25sin x+e^x$

Vậy nghiệm tổng quát ptvp ban đầu là $$y=Y+y^*=e^xleft ( c_1cos x+c_2sin x ight )+frac15cos x-frac25sin x+e^x$$

7. Làm tương tự như bài 1. Các bạn tự làm và đối chiếu đáp án $$y=c_1e^x+c_2e^-4x+fracx2-frac138$$

8.Làm giống như bài 3. Các bạn tự làm và đối chiếu đáp án $$y=c_1cos4x+c_2sin4x-xleft ( fracx8+frac58 ight )cos4x+fracx32sin4x$$

9.Làm tương tự như bài 3. Các bạn tự làm cho và so sánh đáp án $$y=c_1cos4x+c_2sin4x+fracx32cos4x+xleft ( fracx8+frac58 ight )sin4x$$