CÁCH GIẢI MA TRẬN

      23
cắt cử dịch vụ. Sử dụng máy tính trực con đường này, các ẩn số (x 1, x 2, ..., x n) được xem trong hệ phương trình. Quyết định đang được tiến hành phương pháp ma trận nghịch đảo. Vào đó: định thức của ma trận A được tính;một mẫu phương án được chế tạo ra trong Excel; đưa ra quyết định được triển khai trực tiếp trên trang web (trong chế độ online) và miễn phí. Hiệu quả tính toán được trình bày trong một report ở format Word (xem lấy một ví dụ thiết kế).

Hướng dẫn. Để có một nghiệm bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, cần xác định số chiều của ma trận. Tiếp theo, trong hộp thoại mới, điền vào ma trận A và vectơ tác dụng B.

Bạn đang xem: Cách giải ma trận

Giải thuật giải thuật

Khi định thức khác 0, ma trận nghịch đảo A -1 được tra cứu thấy thông qua các phép cộng đại số.Vectơ đưa ra quyết định X = (x 1, x 2, ..., x n) thừa nhận được bằng phương pháp nhân ma trận nghịch đảo với vectơ tác dụng B. Ví dụ. Tìm phương án cho hệ thống cách thức ma trận. Ta viết ma trận dưới dạng: Phép cùng đại số.
A 1,1 = (-1) 1 + 112
0-2
∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2
A 1,2 = (-1) 1 + 232
1-2
∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8
A 1,3 = (-1) 1 + 331
10
∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1
A 2.1 = (-1) 2 + 1-21
0-2
∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4
A 2,2 = (-1) 2 + 221
1-2
∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5
A 2.3 = (-1) 2 + 32-2
10
∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2
A 3,1 = (-1) 3 + 1-21
12
∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5·3
-2
-1
X T = (1,0,1) x 1 = -21 / -21 = 1 x 2 = 0 / -21 = 0 x 3 = -21 / -21 = 1 Kiểm tra: 2 1+3 0+1 1 = 3 -2 1+1 0+0 1 = -2 1 1+2 0+-2 1 = -1

Phương trình nói chung, phương trình đại số đường tính và hệ của chúng, cũng giống như các phương pháp giải chúng, chiếm phần một vị trí quan trọng đặc biệt trong toán học, cả kim chỉ nan và ứng dụng.

Điều này là do phần nhiều các yếu ớt tố đồ vật chất, kinh tế, kỹ thuật cùng thậm chí trọng trách sư phạm hoàn toàn có thể được biểu hiện và giải bằng phương pháp sử dụng những phương trình khác biệt và hệ thống của chúng. TẠI thời gian gần đâyđược những nhà nghiên cứu, nhà khoa học và học viên quan trọng ưa chuộng mô hình toán học trong số đông tất cả các môn học, được giải thích bởi phần đông ưu điểm ví dụ của nó so với các cách thức nổi tiếng với đã được chứng tỏ khác để nghiên cứu và phân tích các đối tượng thực chất khác nhau, ví dụ là mẫu gọi là khối hệ thống phức tạp. Có tương đối nhiều các định nghĩa khác biệt mô hình toán học được đưa ra bởi những nhà công nghệ trong thời hạn khác nhau, dẫu vậy theo chúng tôi, thành công nhất là câu nói sau đây. Mô hình toán học là 1 ý tưởng được thể hiện bằng phương trình. Do vậy, tài năng lập và giải các phương trình và khối hệ thống của bọn chúng là một điểm lưu ý không thể thiếu hụt của một chuyên gia hiện đại.

Để giải quyết và xử lý các khối hệ thống tuyến tính phương trình đại số các phương thức được sử dụng phổ cập nhất là: Cramer, Jordan-Gauss và phương thức ma trận.

Phương pháp giải ma trận - một cách thức giải hệ phương trình đại số tuyến tính với định thức khác 0 bởi ma trận nghịch đảo.

Nếu ta viết hệ số của các giá trị chưa chắc chắn xi vào ma trận A, gom những giá trị không biết vào vectơ cột X và những số hạng thoải mái vào vectơ cột B, thì hệ phương trình đại số đường tính rất có thể viết được. Là phương trình ma trận sau A X = B, chỉ có nghiệm duy nhất lúc định thức của ma trận A không bởi 0. Vào trường phù hợp này, nghiệm của hệ phương trình rất có thể là theo phong cách sau X = Một-một · B, chỗ nào Một-1 - ma trận nghịch đảo.

Phương pháp giải ma trận như sau.

Hãy để hệ thống Các phương trình tuyến tính cùng với N không xác định:

Nó hoàn toàn có thể được viết lại bên dưới dạng ma trận: CÂY RÌU =B, chỗ nào Một- ma trận chủ yếu của hệ thống, B cùng X- cột thành viên miễn chi phí và phương án của hệ thống, tương ứng:

Hãy nhân nó lên phương trình ma trậnđể lại mang lại Một-1 - ma trận nghịch hòn đảo với ma trận Một: Một -1 (CÂY RÌU) = Một -1 B

Như Một -1 Một = E, chúng tôi nhận được X= A -1 B. Phần viền phải của phương trình này sẽ hỗ trợ một cột nghiệm mang đến hệ ban đầu. Điều kiện áp dụng phương pháp này(cũng như nói chung, sự trường tồn của một phương án không hệ thống đồng bộ phương trình tuyến đường tính với số phương trình thông qua số ẩn số) là không nhất quán của ma trận Một. Cần thiết và đầy đủ điều kiệnđây là bất đẳng thức 0 của định thức của ma trận Một: det Một≠ 0.

Đối với cùng 1 hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nghĩa là, lúc vectơ B = 0, thiệt sự quy tắc đảo ngược: khối hệ thống CÂY RÌU = 0 có một nghiệm không tầm thường (nghĩa là không giống 0) chỉ khi det Một= 0. Mối liên hệ như vậy giữa các nghiệm của hệ phương trình đường tính thuần nhất với không thuần nhất được gọi là cách thực hiện Fredholm.

Ví dụ các phương án hệ thống không đồng nhất phương trình đại số tuyến đường tính.

Hãy để bọn chúng tôi bảo đảm rằng định thức của ma trận, bao gồm các thông số tại khối hệ thống không xác minh phương trình đại số đường tính không bằng không.

Bước tiếp theo là giám sát phép cùng đại số đến các bộ phận của ma trận bao hàm các hệ số của ẩn số. Chúng sẽ quan trọng để kiếm tìm ma trận nghịch đảo.

(đôi khi cách thức này có cách gọi khác là phương thức ma trận hoặc phương pháp ma trận nghịch đảo) yên cầu bạn đề xuất làm quen thuộc trước với khái niệm như dạng ma trận của bí quyết viết SLAE. Phương pháp ma trận nghịch đảo có thiết kế để giải các hệ phương trình đại số tuyến đường tính nhưng định thức ma trận hệ là không giống không. Đương nhiên, vấn đề đó ngụ ý rằng ma trận của hệ thống là hình vuông vắn (khái niệm định thức chỉ tồn tại đối với ma trận vuông). Thực chất của phương thức ma trận nghịch đảo có thể được thể hiện ở bố điểm:

Viết ra tía ma trận: ma trận hệ thống $ A $, ma trận ẩn số $ X $, ma trận số hạng tự do $ B $.Tìm ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $.Sử dụng đẳng thức $ X = A ^ (- 1) cdot B $ nhận nghiệm của SLAE vẫn cho.

Bất kỳ SLAE như thế nào cũng có thể được viết dưới dạng ma trận bên dưới dạng $ A cdot X = B $, trong các số ấy $ A $ là ma trận của hệ thống, $ B $ là ma trận những số hạng từ do, $ X $ là ma trận ẩn số. đến ma trận $ A ^ (- 1) $ tồn tại. Nhân cả nhị vế của đẳng thức $ A cdot X = B $ cùng với ma trận $ A ^ (- 1) $ ở bên trái:

$$ A ^ (- 1) cdot A cdot X = A ^ (- 1) cdot B. $$

Vì $ A ^ (- 1) cdot A = E $ ($ E $ - ma trận đối kháng vị), thì phương trình được viết nghỉ ngơi trên trở thành:

$$ E cdot X = A ^ (- 1) cdot B. $$

Vì $ E cdot X = X $, nên:

$$ X = A ^ (- 1) cdot B. $$

Ví dụ 1

Giải SLAE $ left ( begin (căn chỉnh) & -5x_1 + 7x_2 = 29; \ & 9x_1 + 8x_2 = -11. end (căn chỉnh) phải. $ bằng phương pháp sử dụng ma trận nghịch đảo.

$$ A = left ( begin (array) (cc) -5 & 7 \ 9 & 8 end (array) right); ; B = left ( begin (array) (c) 29 \ -11 over (array) right); ; X = left ( begin (array) (c) x_1 \ x_2 over (array) right). $$

Hãy search ma trận nghịch đảo với ma trận của hệ thống, tức là tính $ A ^ (- 1) $. Trong lấy ví dụ như số 2

$$ A ^ (- 1) = - frac (1) (103) cdot left ( begin (array) (cc) 8 và -7 \ -9 & -5 end (array) right) . $$

Bây giờ hãy cầm cố cả tía ma trận ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) vào phương trình $ X = A ^ (- 1) cdot B $. Sau đó, công ty chúng tôi thực hiện phép nhân ma trận

$$ left ( begin (array) (c) x_1 \ x_2 kết thúc (array) right) = - frac (1) (103) cdot left ( begin (array) (cc) 8 và -7 \ -9 & -5 over (array) right) cdot left ( begin (array) (c) 29 \ -11 over (array) right) = \ = - frac (1) (103) cdot left ( begin (array) (c) 8 cdot 29 + (- 7) cdot (-11) \ -9 cdot 29 + (- 5) cdot (- 11) end (array) right) = - frac (1) (103) cdot left ( begin (array) (c) 309 \ -206 over (array) right) = left ( begin (array) (c) -3 \ 2 end (array) right). $$

Vì vậy, chúng ta có $ left ( begin (array) (c) x_1 \ x_2 kết thúc (array) right) = left ( begin (array) (c) -3 \ 2 kết thúc (array) đúng) $. Trường đoản cú đẳng thức này ta có: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.

Trả lời: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.

Ví dụ số 2

Giải SLAE $ left ( begin (căn chỉnh) & x_1 + 7x_2 + 3x_3 = -1; \ & -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 0; \ và 3x_2 + 2x_3 = 6. over (căn chỉnh) bắt buộc . $ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

Chúng ta hãy viết ra ma trận của hệ $ A $, ma trận của các số hạng thoải mái $ B $ cùng ma trận của ẩn số $ X $.

$$ A = left ( begin (array) (ccc) 1 và 7 & 3 \ -4 và 9 & 4 \ 0 và 3 & 2 over (array) right); ; B = left ( begin (array) (c) -1 \ 0 \ 6 over (array) right); ; X = left ( begin (array) (c) x_1 \ x_2 \ x_3 over (array) right). $$

Bây giờ là cơ hội tìm ma trận nghịch hòn đảo của ma trận hệ thống, tức là tìm $ A ^ (- 1) $. Trong lấy ví dụ số 3 trên trang nói riêng để kiếm tìm ma trận nghịch đảo, ma trận nghịch hòn đảo đã được tìm kiếm thấy. Hãy sử dụng tác dụng đã ngừng và viết $ A ^ (- 1) $:

$$ A ^ (- 1) = frac (1) (26) cdot left ( begin (array) (ccc) 6 và -5 và 1 \ 8 và 2 & -16 \ -12 và - 3 & 37 kết thúc (mảng) phải). $$

Bây giờ họ thay cả ba ma trận ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) thành đẳng thức $ X = A ^ (- 1) cdot B $, sau đó bọn họ thực hiện nay phép nhân ma trận ngơi nghỉ bên buộc phải mặt của sự bình đẳng này.

$$ left ( begin (array) (c) x_1 \ x_2 \ x_3 over (array) right) = frac (1) (26) cdot left ( begin (array) (ccc) 6 và -5 & 1 \ 8 và 2 & -16 \ -12 và -3 & 37 kết thúc (array) right) cdot left ( begin (array) (c) -1 \ 0 6 kết thúc (array) right) = \ = frac (1) (26) cdot left ( begin (array) (c) 6 cdot (-1) + (- 5) cdot 0 +1 cdot 6 \ 8 cdot (-1) +2 cdot 0 + (- 16) cdot 6 \ -12 cdot (-1) + (- 3) cdot 0 + 37 cdot 6 over (array) right) = frac (1) (26) cdot left ( begin (array) (c) 0 \ - 104 \ 234 kết thúc (array) right) = left ( begin (array) (c) 0 \ - 4 \ 9 over (array) right) $$

Vì vậy, chúng ta có $ left ( begin (array) (c) x_1 \ x_2 \ x_3 end (array) right) = left ( begin (array) (c) 0 \ - 4 9 kết thúc (mảng) phải) $. Từ bỏ đẳng thức này, bọn họ có: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -4 $, $ x_3 = 9 $.

Xét một hệ phương trình tuyến đường tính nhiều biến:

*
*
*
*
*

trong đó aij - hệ số tại хi chưa biết; bi thành viên miễn phí;

chỉ số: i = 1,2,3… m- khẳng định số của phương trình và j = 1,2,3… n- số của ẩn số.

Định nghĩa: Nghiệm của hệ phương trình (5) là một trong bộ có n số (x10, x20, .... Xn0), lúc thay nó vào hệ thì toàn bộ các phương trình đều biến thành một cấp cho số thực.

Định nghĩa: Một hệ phương trình được hotline là nhất quán nếu nó có tối thiểu một nghiệm. Khối hệ thống chungđược hotline là khẳng định nếu nó tất cả một nghiệm độc nhất vô nhị (x10, x20,… .xn0) cùng không khẳng định nếu có một số nghiệm như vậy.

Định nghĩa: Một khối hệ thống được điện thoại tư vấn là không nhất quán nếu nó không có nghiệm.

Định nghĩa: Bảng sinh sản thành từ thông số (aij) cùng số hạng tự do thoải mái (bi) của hệ phương trình (5) được gọi là ma trận hệ (A) và ma trận mở rộng (A1), được ký hiệu là:

*
*

Định nghĩa: Ma trận của hệ A, có số hàng cùng số cột không đều nhau (n? M), được hotline là hình chữ nhật. Giả dụ số hàng với số cột đều nhau (n = m) thì ma trận được hotline là hình vuông.

Nếu số ẩn số trong hệ thông qua số phương trình (n = m) thì hệ bao gồm Ma trận vuôngđơn hàng sản phẩm n.

Hãy tách bóc ra k-hàng tuỳ ý cùng k-cột tuỳ ý (km, kn) vào ma trận A.

Định nghĩa: Định thức bậc k, bao hàm các thành phần của ma trận A, nằm ở vị trí giao điểm của những hàng và cột vẫn chọn, được hotline là định thức bậc k của ma trận A.

Xem xét toàn bộ các con hoàn toàn có thể có của ma trận A. Nếu toàn bộ (k + 1) con tất cả thứ tự bởi 0 và tối thiểu một trong các con bậc k không bằng 0, thì ma trận được mang lại là tất cả hạng bởi k.

Định nghĩa: Hạng của ma trận A được điện thoại tư vấn là giao dịch lớn duy nhất một số bé dại khác 0 của ma trận này. Hạng của ma trận được ký kết hiệu là r (A).

Xem thêm: Tiểu Sử Ca Sĩ Ngọc Sơn Được Cập Nhật Mới Nhất, Tiểu Sử Ca Sĩ Ngọc Sơn

Định nghĩa: gần như ma trận nhỏ dại khác 0 gồm bậc là đồng bậc ma trận được call là cơ bản.

Định nghĩa: Nếu đối với hai ma trận A với B thì bậc của chúng trùng nhau r (A) = r (B) thì những ma trận này được call là tương đương và được cam kết hiệu là A B.

Thứ hạng của ma trận đã không chuyển đổi so với những phép đổi khác cơ bản, tương đương, bao gồm:

1. Sửa chữa hàng bằng cột với cột bằng hàng tương ứng;2. Hoán vị những hàng hoặc cột ở những vị trí;3. Gạch ốp bỏ những hàng hoặc cột, tất cả các phần tử của chúng đều bằng 0;4. Phép nhân hoặc chia một hàng hoặc cột với một trong những khác không;5. Phép cộng hoặc phép trừ các bộ phận của một sản phẩm hoặc cột cùng với một hàng khác, nhân với một vài bất kỳ.

Khi xác định thứ hạng của ma trận, hãy áp dụng phép biến hóa tương đương, với sự trợ góp của ma trận lúc đầu được rút gọn thành ma trận bậc (tam giác).

TẠI ma trận bước thành phần không nằm dưới đường chéo cánh chính và bộ phận khác 0 thứ nhất của mỗi hàng, bước đầu từ hàng lắp thêm hai, nằm tại vị trí bên phải phần tử khác 0 trước tiên của sản phẩm trước đó.

Lưu ý rằng hạng của ma trận bằng số những hàng khác không của ma trận bậc.

Ví dụ, ma trận A = - loại bước và hạng của nó thông qua số hàng không giống không của ma trận r (A) = 3. Thiệt vậy, tất cả các phần tử nhỏ dại bậc 4 không có phần tử nào của hàng máy 4 đều bằng 0 và những phần tử nhỏ dại bậc 3 là các phần tử khác. Để kiểm tra, công ty chúng tôi tính toán yếu tố quyết định số nhỏ của 3 hàng và 3 cột đầu tiên:

*

Bất kỳ ma trận như thế nào cũng hoàn toàn có thể được rút gọn gàng thành ma trận bước bằng phương pháp làm 0 các thành phần của ma trận bên dưới đường chéo chính bằng những phép toán cơ bản.

Chúng ta hãy trở lại nghiên cứu và phân tích và phương án của hệ phương trình con đường tính (5).

Định lý Kronecker-Capeli đóng một vai trò đặc biệt trong việc phân tích các hệ phương trình tuyến tính. Hãy để công ty chúng tôi hình thành định lý này.

Định lý Kronecker-Capelli: Một hệ phương trình con đường tính là đồng nhất nếu và chỉ còn khi hạng của ma trận của hệ A bằng hạng của ma trận mở rộng A1, có nghĩa là r (A) = r (A1). Vào trường phù hợp tương thích, khối hệ thống là xác minh nếu hạng của ma trận khối hệ thống bằng số ẩn số, có nghĩa là r (A) = r (A1) = n với không khẳng định nếu hình dạng này ít hơn số không xác định, có nghĩa là r (A) = r (A1) 2) trừ 3 cùng 4 hàng, hàng đầu tiên nhân với 4;3) nhân hàng sản phẩm 4 cùng với (-1) và hoán thay đổi với hàng sản phẩm công nghệ 2;4) cộng 3 cùng 4 mặt hàng với hàng thứ 2 nhân cùng với 5 cùng 4, tương ứng;5) Trừ hàng sản phẩm 3 cùng với hàng lắp thêm 4 và gạch vứt hàng đồ vật 4 không có thành phần nào.

*
*
*
*
*
*

Kết trái của các hành động đã thực hiện, shop chúng tôi thu được một ma trận bậc có bố hàng không giống 0 cả trong ma trận hệ thống (lên mang lại dòng) và trong ma trận mở rộng. Lúc đó hoàn toàn có thể thấy rằng hạng của ma trận của hệ bởi hạng của ma trận không ngừng mở rộng và bởi 3, nhưng bé dại hơn số ẩn số (n = 4).

Trả lời: chính vì r (A) = r (A1) = 3 Bản hóa học của phương thức Gauss nằm ở vị trí chỗ loại bỏ liên tiếp những ẩn số. t bằng cách giảm ma trận mở rộng A1 thành dạng bậc, bao gồm ma trận của khối hệ thống A mang lại dòng. Trong trường thích hợp này, bậc của ma trận A, A1 được xác định đồng thời và hệ thống được nghiên cứu và phân tích theo Kronecker- Định lý Capeli. Ở tiến trình cuối, một hệ phương trình trực thuộc loại từng bước một được giải, thực hiện thay thế từ bên dưới lên những giá trị tìm kiếm được của ẩn số.

Chúng ta hãy coi xét vận dụng của cách thức Gauss với định lý Kronecker-Capeli bằng phương pháp sử dụng một ví dụ.

Ví dụ. Giải khối hệ thống bằng phương pháp Gauss:

*

Hãy xác minh bậc của ma trận khối hệ thống A và ma trận không ngừng mở rộng A1. Để làm điều này, shop chúng tôi soạn ma trận không ngừng mở rộng A1 và bớt nó thành dạng bậc. Khi truyền, hãy làm cho như sau:

1) trừ hàng trước tiên với hàng máy 2;2) trừ tự hàng thiết bị 3 xuống hàng sản phẩm công nghệ nhất, nhân cùng với 2;3) chia hàng thứ 2 cho (-2) và nhân hàng thiết bị 3 với (-1) với hoán đổi chúng.
*
*

Ta nhận được ma trận bước, trong số ấy số hàng bởi 3, và ma trận của hệ (trước dòng) cũng không tồn tại ô chìm. Vì đó, bậc của ma trận khối hệ thống và ma trận không ngừng mở rộng là 3 và ngay số ẩn số, tức là r (A) = r (A1) = n = 3 .. Theo định lý Kronecker-Capelli, hệ thống nhất quán và xác định, gồm nghiệm duy nhất.

Kết trái của việc thay đổi ma trận A1, có tác dụng 0 những hệ số mang đến ẩn số, bọn chúng liên tiếp bị loại bỏ khỏi phương trình và thu được một hệ phương trình bậc (tam giác):

*
*

Di chuyển tuần tự từ dưới lên trên, cầm cố nghiệm (x3 = 1) trường đoản cú phương trình thứ cha vào phương trình vật dụng hai và các nghiệm (x2 = 1, x3 = 1) tự phương trình sản phẩm hai và thứ bố vào phương trình sản phẩm công nghệ nhất, ta được nghiệm là hệ phương trình: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1.

Kiểm tra: - (!) Đáp số: (x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1).

*

Phương pháp Jordan-Gauss

Hệ thống này có thể được giải bằng phương thức Jordan-Gauss cải tiến, trong các số đó ma trận của khối hệ thống A trong ma trận không ngừng mở rộng (lên mang lại dòng) được rút gọn gàng thành ma trận đồng nhất: E = cùng với các bộ phận đường chéo duy nhất với không nằm ngoại trừ đường chéo cánh và ngay nhanh chóng thu được phương án của khối hệ thống mà ko cần thay thế sửa chữa bổ sung.

Hãy giải hệ trên bằng phương pháp Jordan-Gauss. Để có tác dụng điều này, chúng tôi chuyển đổi ma trận bước kết quả thành một ma trận duy nhất bằng phương pháp thực hiện tại như sau:

1) trừ hàng thứ hai với hàng đồ vật nhất;2) cộng với hàng đầu tiên với hàng đồ vật 3, nhân với 3;3) trừ trường đoản cú hàng thứ 2 đến hàng sản phẩm 3, nhân với 4.
*
*

Hệ phương trình thuở đầu được rút gọn thành hệ :, xác định được nghiệm.

hoạt rượu cồn cơ bạn dạng với ma trận

Cho hai ma trận đã cho: A = B =.

1. Ma trận bởi A = B ví như các bộ phận cùng thương hiệu của chúng bởi nhau: aij = bij2. Tổng (hiệu) của những ma trận (A ± B) là ma trận được xác minh bởi đẳng thức:
*

Khi tính tổng (trừ) ma trận, các phần tử cùng thương hiệu của bọn chúng được cộng (trừ).

3. Tích của số k vị ma trận A là ma trận khẳng định bởi đẳng thức:

*

Khi một ma trận được nhân với cùng một số, toàn bộ các phần tử của ma trận phần nhiều được nhân cùng với số đó.

4. Tích của ma trận AB là ma trận xác minh bởi đẳng thức:

*

Khi nhân ma trận, các bộ phận của các hàng của ma trận trước tiên được nhân với các phần tử của những cột của ma trận sản phẩm hai và cộng lại, và thành phần của ma trận tích làm việc hàng thứ i và cột sản phẩm j bởi tổng những tích của các phần tử tương ứng của hàng sản phẩm công nghệ i của ma trận trước tiên và của ma trận lắp thêm j cột thiết bị hai.

Khi nhân ma trận, trong trường hợp chung, chính sách giao hoán không áp dụng, có nghĩa là AB? VA.

5. đưa vị của ma trận A là một hành vi dẫn cho việc thay thế sửa chữa các hàng bởi cột cùng cột bằng các hàng tương ứng.

Ma trận AT = được call là ma trận đưa vị đến ma trận A =.

Nếu định thức của ma trận A không bởi 0 (D? 0), thì ma trận do vậy được call là không kỳ dị. Đối với ngẫu nhiên ma trận không kỳ dị làm sao A, tất cả một ma trận nghịch hòn đảo A-1, mà lại đẳng thức tồn tại: A-1 A = A A-1 = E, trong những số đó E = - ma trận đồng nhất.

6. Nghịch hòn đảo của ma trận A là những hành động mà trong các số đó ma trận nghịch đảo A-1 thu được